Solusi Sistem Persamaan Linier

Persamaan linier adalah persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1
Contoh:
x + y + 2z = 9
Ruang solusinya berupa suatu “tripel” dengan masing-masing nilai sesuai urutan (nilai-x, nilai-y, nilai-z) yang memenuhi persamaan tersebut.
Untuk sistem ini ruang solusinya
{ … ( 0, 1, 4), (1, 0, 4), (4, 5, 0), …. }

Sistem Persamaan Linier adalah suatu sistem dengan beberapa (2 atau lebih) persamaan linier.
Contoh:
x + y = 3
3x – 5y = 1
Ruang Solusinya berupa semua ordered-pair (nilai-x, nilai-y) yang harus memenuhi semua persamaan linier dalam sistem tersebut.
Untuk sistem ini ruang solusinya
{ (2, 1) }

Cara Mencari Solusi Sistem Persamaan Linier

a.Eliminasi

x

+

y

=

3

->

3x

+

3y

=

9

3x

-

5y

=

1

->

3x

-

5y

=

1

________________________

-

8y

=

8

y

=

1

3x

-

5y

=

1

3x

-

5 . 1

=

1

3x

=

6

x

=

2

b.Substitusi

x	+	y	=	3		atau y = 3 - x		,y disubtitusi
3x	-	5y	=	1
____________
3x	-	5y	=	1

3x

-

5

( 3 - x )

=

1

3x	-	15	+	5x
8x	=	16
x	=	2
y	=	3	-	x
y	=	1

Untuk cara Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan diperlukan
Matriks Augmented

Matriks Augmented adalah matriks yang diperbesar
Matriks yang entri-entrinya dibentuk dari koefisien-koefisien Sistem Persamaan Linier, ditambah kolom di kanan tanda “=“
Contoh :
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0

Matriks Augmented-nya :

	1	1	2		9
	2	4	-3		1
	3	6	-5		0

c.Eliminasi Gauss

x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0

	1	1	2		9
	2	4	-3		1
	3	6	-5		0

diusahakan bentuk

	1	1	2		9
	0	?	?		?
	0	0	?		?

menggunakan (Operasi Baris Elementer - OBE) atau (Elementary Row Operation - ERO)

Caranya:
Perhatikan bahwa tiap baris dari matriks merepresentasikan persamaan linier
1.Mengalikan suatu baris dengan bilangan nyata k tidak sama dengan 0
2.Menukar posisi dua baris
3.Menambah baris-i dengan k dikalikan baris-j

	1	1	2		9
	2	4	-3		1
	3	6	-5		0

	1	1	2		9
	0	2	-7		-17		barisII + -2 x baris I
	0	3	-11		-27		barisIII + -3 x barisI

	1	1	2		9
	0	2	-7		-17
	0	0	-1/2		-3/2		baris III + 3/2 x baris II

-1/2 z = -3/2
z = 3

2y – 7z = - 17
2y - 7.3= - 17
2y = 21 – 17
y = 2

x + y + 2z = 9
x + 2 + 2.3= 9
x = – 2 – 6 + 9
x = 1

d.Eliminasi Gauss – Jordan
 
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0

	1	1	2		9
	2	4	-3		1
	3	6	-5		0

diusahakan bentuk menggunakan (Operasi Baris Elementer - OBE) atau (Elementary Row Operation - ERO)

	1	0	0		?
	0	1	0		?
	0	0	1		?

Bentuk eselon baris:
1.Entri-entri dalam sebuah baris tidak semuanya nol, maka entri pertama yang tidak nol harus 1 (disebut 1-utama / leading-1)
2.Baris-baris yang semua entrinya 0, dikelompokkan di bagian bawah matriks
3.Posisi 1-utama dari baris yang lebih bawah harus lebih ke kanan d/p 1-utama baris yang lebih atas

Bentuk eselon baris tereduksi:

1.Entri-entri dalam sebuah baris tidak semuanya nol, maka entri pertama yang tidak nol harus 1 (disebut 1-utama / leading-1)
2.Baris-baris yang semua entrinya 0, dikelompokkan di bagian bawah matriks
3.Posisi 1-utama dari baris yang lebih bawah harus lebih ke kanan d/p 1-utama baris yang lebih atas
4.Semua entri (yang lain) dari kolom yang berisi 1-utama harus di-0-kan

	1	1	2		9
	2	4	-3		1
	3	6	-5		0

	1	1	2		9
	0	2	-7		-17		barisII + -2 x baris I
	0	3	-11		-27		barisIII + -3 x barisI

	1	1	2		9
	0	2	-7		-17
	0	0	-1/2		-3/2		baris III + 3/2 x baris II

	1	1	2		9
	0	1	-7/2		-17/2		barisII x 1/2
	0	0	1		3		baris III x -2

	1	1	0		3		barisI - 2 x barisIII
	0	1	0		2		barisII - 7/2 x barisIII
	0	0	1		3		baris III x -2

	1	0	0		1		barisI - barisII
	0	1	0		2		barisII - 7/2 x barisIII
	0	0	1		3		baris III x -2

x=1
y=2
z=3